MATEMÁTICA

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LÓGICA DE PROPOSICIONES

    La lógica de proposiciones es el antecedente histórico del Álgebra de Boole y está basada en la lógica clásica o tradicional. Se explicarán algunos conceptos básicos tendientes a establecer una expresión lógica simbólica a partir de un enunciado.

1.    JUICIO, PROPOSICIÓN Y SENTENCIA

    La lógica clásica o tradicional, la de inspiración aristotélica, se define como un conjunto de leyes generales del pensamiento, y ésta a su vez, define al juicio como el acto mental por medio del cual pensamos cualesquier enunciados, tales como:

10 + 5 = 15Ramírez es un buen jugador de ten11isJuan estudia 

 

 

 

   La proposición se define como una oración declarativa que puede ser verdadera (V,1) o falsa (F,0). Cuando una proposición expresa una sola idea en su forma más simple, se dice que es una proposición simple o atómica. Las proposiciones atómicas son como sigue:

Carlos es un buen deportista.............................................................................     (4)
El padre de Carlos es feliz...................................................................................     (5)

    Ahora bien, si una proposición reúne a más de una proposición simple o atómica, se dice que es una proposición compuesta o molecular. Para formar una proposición compuesta o molecular se hace necesario emplear un elemento de enlace entre las proposiciones simples o atómicas, a los cuales se les denomina conectivas lógicas.

2. CONECTIVAS LÓGICAS

    Se definen básicamente 5 elementos cuyos propósitos son enlazar las proposiciones simples o atómicas:

1. La CONJUNCIÓN: La conjunción se representa por v y se lee y.

2. La DISYUNCIÓN: Se divide en disyunción inclusiva que se representa por w y se lee o; o también se lee como uno u otro o ambos. La disyunción exclusiva se representa por ¹  y se lee como O exclusiva, o también como uno u otro pero no ambos.

3. CONDICIONAL: Se representa por medio de una flecha 6  y se lee si.....entonces.....

4. BICONDICIONAL: Se representa por º o ø  (relación de equivalencia) y se lee .....si y sólo si....., o también como condición necesaria y suficiente.

5. NEGACIÓN: Se lee como no, es falso que, no es verdad que; y hay muchas formas de representarlo (', $ ,...)

      Ahora, estamos en posibilidad de formar proposiciones moleculares. Podemos utilizar los enunciados del (1) al (5):

10+5 = 15 y Ramírez es un buen jugador de tenis                                                    (1)
10+5 = 15 o Juan estudia                                                                                                (2)
si Carlos es un buen deportista entonces el padre de Juan es feliz                    (3)
El padre de Carlos es feliz si y sólo si Carlos es un buen deportista                  (4)
Es falso que el padre de Juan es feliz                                                                          (5)

    Como se observa en los ejemplos del (1) al (5), para trabajar con la lógica de proposiciones, resulta difícil manejar éstos como elementos de una nueva álgebra, motivo por el cual se tratan de simbolizar estas proposiciones. A esta simbolización se les denomina sentencias, por éstas se entiende como una serie de signos por medio de los cuales se expresan proposiciones.

    Las sentencias se simbolizan mediante letras, llamadas letras sentenciales, las cuales pueden ser: p, q, r, s, t,..., en donde cada letra sentencial representa un enunciado declarativo (una proposición).

EJEMPLOS

1.    p = (10+5=15)
       q = Ramírez es un buen jugador de tenis

            p v q

2.     r = Juan estudia

            p w r

3.     s = Carlos es un buen deportista
        t = el padre de Carlos es feliz

            s 6 t

4.          t  º s  o  t ø s

5.          t'

3. TABLAS DE VERDAD

    Hasta ahora nos hemos referido a las letras y esquemas sentenciales sin tener en cuenta si eran verdaderas o falsas. Un principio que establecer es este:

P1. Todo enunciado es verdadero o falso

    Este principio significa que a todo enunciado se le puede asignar uno de los siguientes predicados: verdadero o falso, y lo simbolizaremos con las letras V o F, respectivamente.

    Otro principio es:

P2. Los valores de verdad de cualquier fórmula  molecular (esquema sentencial) están determinados por los valores de verdad de las fórmulas componentes

    Con la ayuda de estos principios se pueden formar las llamadas TABLAS DE VERDAD, las cuales se usan para determinar de un modo sistemático la verdad o falsedad de las fórmulas.

    Comenzaremos con las tablas de verdad correspondientes a las conectivas lógicas presentadas anteriormente.

1.     La tabla de verdad para una sola letra sentencial es:

Lo cual indica que dada una letra sentencial hay para ella 2 posibilidades, una que sea verdadera y otra que sea falsa.

2.    La tabla de verdad para 2 letras sentenciales es:

Lo cual indica que dadas 2 letras sentenciales hay para ellas 2² posibles combinaciones y en general para n letras, hay 2ⁿ combinaciones.

3.    La tabla de verdad para p v q es:

Lo cual indica que la conjunción de p y q es verdadera si y sólo si p y q son verdaderas, de otra manera p v q es falsa.

4.    La tabla de verdad para p w q es:

Lo cual indica que la disyunción de p o q será verdadera si y sólo si p o q o ambas son verdaderas. De otra manera p w q es falsa.

5.     La tabla de verdad para la disyunción exclusiva es:

Lo cual indica que la disyunción de p r q será verdadera si y sólo si p o q son verdaderas, pero no ambas.

6.    La tabla de verdad de p 6 q es:

Sólo en este caso, a la letra sentencial p se le denomina antecedente y a la letra sentencial q se le denomina consecuente.

Por tanto, la tabla de verdad para p 6 q establece que solamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, la fórmula será falsa y en todos los demás casos es verdadera.

7.     La tabla de verdad para  p  º q   o  p ø q es:

Lo cual indica que la bicondicional p  º q será verdadera si y sólo si ambas componentes tienen el mismo valor de verdad.

Obsérvese que las tablas de verdad 5 y 7 se complementan entre sí; por tal razón se utiliza para la bicondicional el símbolo de la relación de equivalencia º y para la disyunción exclusiva ¹, esto es porque una es el complemento de la otra.

8.    La tabla de verdad para no p (p')es:

Lo cual indica que cuando una fórmula es verdadera, su negación es falsa y viceversa.

        Las tablas de verdad, como se mencionó anteriormente, se construyen para comprobar metódicamente el valor de verdad de las fórmulas o para verificar la relación de equivalencia (igualdad) de las fórmulas.

    A continuación se presentan algunos ejemplos:

1.    Demostrar que p 6 q = p' w q

SOLUCIÓN

2.    Demostrar que (p º q) = (p 6 q) v (q 6 p)

SOLUCIÓN

3.    Dada la siguiente fórmula, determine sus valores de verdad:

            [(p v q) 6 p]'

SOLUCIÓN

4.    Dada la fórmula siguiente, determinar sus valores de verdad:

4. TAUTOLOGÍA

    Se puede observar que al construir las tablas de verdad en los ejemplos anteriores, se presentaron tres casos:

1.    La tabla de verdad de la fórmula dada contenía tantos verdaderos (V) como falsos (F)

2.    La tabla de verdad de la fórmula dada contenía sólo falsos (F)

3.    La tabla de verdad de la fórmula dada contenía sólo verdaderos (V)

    La fórmula del primer tipo se denomina indeterminada. Las fórmulas del segundo tipo se denominan contradicciones y las del tercer tipo se denominan tautologías o fórmulas sentencialmente válidas.

1. IDENTIDAD:                        p 6 p ; p º p
2. CONTRADICCIÓN:             [p v (p')]'
3. TERCERO EXCLUIDO:      [p w (p')]

   Lo cierto es que en esta parte, la tautología se usará para determinar la validez de un argumento.

        Un argumento es un enunciado en el cual, de un conjunto de premisas (A, B, C, D,..., etc.), se obtiene una premisa llamada conclusión Q. Cada premisa puede estar formada por una o más proposiciones.

    Luego entonces, se dice que un argumento es válido si la tabla de verdad formada de la siguiente manera:

(A v B v C v D ...) 6 Q; es una tautología

EJEMPLOS

        Encontrar si los argumentos siguientes son o no válidos:

1.     Si Marta fue al cine entonces Miguel fue al cine.
        Miguel fue al cine.
        Por tanto, Marta fue al cine.

SOLUCIÓN

     Determinamos cada una de las premisas, así como también la conclusión.

A = Si Marta fue al cine entonces Miguel fue al cine
B = Miguel fue al cine
Q = Marta fue al cine

     Pero como se dijo anteriormente, cada premisa puede estar formada por una o más proposiciones, por lo que se da el caso que la premisa A puede representarse sentencialmente de la siguiente manera:

p = Marta fue al cine
q = Miguel fue al cine

     Por tanto:

A = p 6 q
B = q
Q = p

     La fórmula queda:

[(p 6 q) v q] 6 p

     Si la tabla de verdad resulta una tautología, el argumento será válido.

     Como se observa de la tabla de verdad, el argumento no es válido, porque no se obtuvo una tautología.

2.    Al ejemplo anterior solamente se cambiará el orden de alguna de las premisas.

A = Si Marta fue al cine entonces Miguel fue al cine
B = Marta fue al cine
Q = Miguel fue al cine

SOLUCIÓN

     A = p 6 q
     B = p
     Q = q

     Por lo tanto, el argumento queda expresado como:

[(p 6 q) v p] 6 q

     El resultado obtenido es una tautología, y por tanto, el argumento es válido.

Escrito por vatz el 19/04/2007 23:46 | Comentarios (10)